已知{an}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S9=90，且a2，a4，a8成等比数列．求数列{an}的通项公式；若数列{an}和{bn}满足等式

题文

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n}满足等式：an=b13+b232+b333+…+bn3n（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n=a₁+（n-1）d   d≠0，则9a1+9×82d=90(a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2
即a1+4d=10a1=d，解得a₁=2，d=2．
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）由（1）得，b13+b232+b333+…+bn3n=2n ①，
当n≥2时，b13+b232+b333+…+bn-13n-1=2(n-1) ②，
由①-②得，bn3n=2，所以b_n=2•3ⁿ．n≥2．
当n=1时，b₁=3a₁=6也适合上式，所以b_n=2•3ⁿ．n为正整数．
因为bn+1bn=2•3n+12•3n=3，所以{b_n}是首项为b₁=6，公比为3的等比数列，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=6(1-3n)1-3=3ⁿ⁺¹-3．

解析

9a1+9×82d=90(a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差不为0的等差数列，它的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。