已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA•PB的取值范围为A．(0，12]B．[-1

题文

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA•PB的取值范围为（ ）A．(0，12]B．[-12，0)C．(-12，0)D．[-1，0） 题型：未知 难度：其他题型

答案

设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
则PA=（-1-x，-y）
PB=（1-x，-y）
PO=（-x，-y）
设z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=12（2）
这是P点满足的条件 （其图形为一双曲线）
求它与圆的交点：
即，解方程组：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=12（4）
得x²=34（5）
（但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜34
又由（2）知x²＞=12，
即12≤x²＜34（6）
由（2）还得：y²=x²-12
代入（1），得
z=2x²-32（7）
由（（6），（7）知，z的取值范围为
为：[-12，0）
故选B

解析

PA

考点

据考高分专家说，试题“已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。