已知{an}是公比大于1的等比数列，它的前3项和S3=7，且a1+3、3a2、a3+4构成等差数列．求数列{an}的通项公式；令bn=5(log2

题文

已知{a_n}是公比大于1的等比数列，它的前3项和S₃=7，且a₁+3、3a₂、a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令bn=5(log2a2n)•(log2a2(n+1))，数列{b_n}的前n项是T_n，若对于任意正整数n，都有T_n＜m（m∈Z）成立，求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知得：a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1=2q，a3=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q1=2，q2=12，
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1；
（II）由于bn=5(log222n-1)(log222n+1)=5(2n-1)(2n+1)=52(12n-1-12n+1)，Tn=52(11-13)+52(13-15)+…+52(12n-1-12n+1)=5n2n+1，
∵5n2n+1=n+12-122n+1=52-54n+2＜52，
∴使T_n＜m成立的整数m的最小值是3．

解析

a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公比大于1的等比数列，它的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。