在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；设数列{lnan}，{ln

题文

在数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．
（Ⅰ）数列{c_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若a₁=2，SnTn=n2n+1，求数列{c_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）{c_n}是等比数列．
证明：设{a_n}的公比为q₁（q₁＞0），{b_n}的公比为q₂（q₂＞0），
则cn+1cn=bn+1an+1•anbn=bn+1bn•anan+1=q2q1≠0，故{c_n}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lna_n}和{lnb_n}分别是公差为lnq₁和lnq₂的等差数列．
由条件得nlna1+n(n-1)2lnq1nlnb1+n(n-1)2lnq2=n2n+1，即2lna1+(n-1)lnq12lnb1+(n-1)lnq2=n2n+1．
故对n=1，可得lna1lnb1=13，又a₁=2，可得b₁=8，
于是2lna1+(n-1)lnq12lnb1+(n-1)lnq2=n2n+1可变为
（2lnq₁-lnq₂）n²+（4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂）n+（2lna₁-lnq₁）=0对任意的正整数n恒成立
于是2lnq1-lnq2=04lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=02lna1-lnq1=0.
将a₁=2代入得q₁=4，q₂=16，b₁=8．
从而有cn=8•16n-12•4n-1=4n．所以数列{c_n}的前n项和为4+42++4n=43(4n-1)．

解析

cn+1cn

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}，{bn}是各项均为正数的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。