设f1=21+x，定义fn+1=f1[fn]，an=fn(0)-1fn(0)+2．求数列{an}的通项公式；若T2n=

题文

设f₁（x）=21+x，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=fn(0)-1fn(0)+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=4n2+n4n2+4n+1（n∈N^*），试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f₁（0）=2，a₁=2-12+2=14，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=21+fn(0)，
∴a_n+1=fn+1(0)-1fn+1(0)+2=21+fn(0)-121+fn(0)+2=1-fn(0)4+2fn(0)=-12fn(0)-1fn(0)+2=-12a_n．
∴数列{a_n}是首项为14，公比为-12的等比数列，
∴a_n=14（-12）ⁿ-¹．
（2）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-₁+2na_2n，
∴-12T_2n=（-12a₁）+（-12）2a₂+（-12）3a₃+…+（-12）（2n-1）a_2n-1+(-12)2na_2n
=a₂+2a₃+…+（2n-1）a_2n-na_2n．
两式相减，得32T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n．
∴32T_2n=14[1-(-12)2n]1+12+n×14（-12）²ⁿ-¹=16-16（-12）²ⁿ+n4（-12）²ⁿ-¹．
T_2n=19-19（-12）²ⁿ+n6（-12）²ⁿ-¹=19（1-3n+122n）．
∴9T_2n=1-3n+122n．
又Q_n=1-3n+1(2n+1)2，
当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q _n；
当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，∴9T_2n＜Q_n；
综上得：9T_2n＜Q _n．

解析

2-12+2

考点

据考高分专家说，试题“设f1（x）=21+x，定义fn+1（x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。