已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=-n2+20n，n∈N*．求通项an；设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-n²+20n，n∈N^*．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a₁=S₁=19；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+20n-[-（n-1）²+20（n-1）]=-2n+21，当n=1时也成立．
综上可知：an=-2n+21，n∈N*．
（II）∵{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴bn-an=3n-1，∴bn=3n-1-2n+21（n∈N^*）．
∴Tn=Sn+1+3+32+…+3n-1
=-n2+21n+1×(3n-1)3-1
=-n2+21n+3n-12．

解析

1×(3n-1)3-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。