已知a1=2，点在函数f=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…证明：数列{lg}是等比数列，并求数列{an}的通

题文

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=1an+1an+2，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由已知an+1=a2n+2an，∴an+1+1=(an+1)2，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即lg(1+an+1)lg(1+an)=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
∴lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)=2n-1•lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1（*）．
 由（*）式得an=32n-1-1．
（2）∵an+1=a2n+2an，
∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴1an+1=12(1an-1an+2)，
∴1an+2=1an-2an+1，
又bn=1an+1an+2，
∴bn=2(1an-1an+1)．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2(1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1an+1)
=2(1a1-1an+1)．
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1，
∴Sn=1-232n-1．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知a1=2，点（an，an+1）在函数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。