已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=qq-1，数列{bn}是公比不为q的等比数列，cn=an+

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=qq-1（a_n-1）（n∈N^*，q是大于0的常数，且q≠1），数列{b_n}是公比不为q的等比数列，c_n=a_n+b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设q=2，b_n=3ⁿ，是否存在实数λ，使数列{c_n+1+λc_n}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
（Ⅲ）数列{c_n}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和b_n的组合，若不能，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=qq-1(an-1)-qq-1(an-1-1)，
整理得a_n=qa_n-1
又由S1=a1=qq-1(a1-1)，得a₁=q
结合q＞0知，数列a_n是首项为q公比为q的等比数列，
∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，a_n=2ⁿ，所以c_n=2ⁿ+3ⁿ
假设存在实数λ，使数列c_n+1+λc_n是等比数列，则对任意n≥2有
（c_n+1+λc_n）²=（c_n+2+λc_n+1）（c_n+λc_n-1），将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得：
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+λ（2ⁿ+3ⁿ）]²=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²+λ（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ+λ（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+λ）2ⁿ+（3+λ）3ⁿ]²=[（2+λ）2ⁿ⁺¹+（3+λ）3ⁿ⁺¹][（2+λ）2^n-1+（3+λ）3^n-1]，
整理得16（2+λ）（3+λ）•2ⁿ•3ⁿ=0，解得λ=-2或λ=-3．
故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列c_n+1+λc_n是等比数列．
（Ⅲ）数列{c_n}不可能为等比数列．
理由如下：设等比数列{b_n}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则c_n=qⁿ+b₁p^n-1
为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁•c₃．
事实上，c₂²=（q²+b₁p）²=q⁴+2q²b₁p+b₁²p²，①
c₁•c₃=（q+b₁）（q³+b₁p²）=q⁴+b₁²p²+b₁q（p²+q²），．②
②-①得
c₁c₃-c₂²=b₁q（p²+q²-2pq）
由于p≠q时，p²+q²＞2pq，又q及等比数列的首项b₁均不为零，
所以c₁c₃-c₂²≠0，即c₂²≠c₁•c₃．故{c_n}不是等比数列．

解析

qq-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。