已知数列{an}的前n项之和为Sn，满足an+Sn=n．证明：数列{an-1}为等比数列，并求通项an；设bn=•，求数列{b

题文

已知数列{a_n}的前n项之和为S_n，满足a_n+S_n=n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}为等比数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）•（a_n-1），求数列{b_n}中的最大项的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，得S_n=n-a_n，所以S_n-1=n-1-a_{n-（ ）1}，
两式相减得S_n-S_n-1=1+a_n-1-a_n，
整理，得2a_n=a_n-1+1，（n≥2）
配方得：2（a_n-1）=a_n-1-1
∴an-1an-1-1=12，可得{a_n-1}为公比为12的等比数列
由已知式可得a₁+s₁=1，得a1=12
∴a1-1=-12，可得an-1=(-12)(12)n-1=-12n，
n=1时也符合
因此，数列{a_n}的通项公式为an=1-12n…（7分）
（Ⅱ）bn=(2-n)(an-1)=(n-2)•12n
可得bn+1-bn=(n-1)•12n+1-(n-2)•12n=12n+1（3-n）
∴当n=1，2时，b_n+1-b_n≥0；当n=3时，b_n+1-b_n=0；当n≥4时，b_n+1-b_n＜0
∴当n=3或4时，b_n达到最大值．即数列{b_n}中的最大项为b₃=b₃=18．…（14分）

解析

an-1an-1-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项之和为Sn，满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。