在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*证明数列{an-n}是等比数列；设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

题文

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*
（I）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（II）设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题设a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+n，
所以数列b_n=an2n=12+n(12)n，
所以S_n=n2+[1•12+2•122+3•123+…+（n-1）12n-1+n12n]，
设T_n=1•12+2•122+3•123+…+（n-1）12n-1+n12n   ①
所以12T_n=1•122+2•123+3•124+…+（n-1）12n+n12n+1  ②
①-②可得12T_n=12+122+123+…+12n-n12n+1
=12(1-12n)1-12-n12n+1=1-12n-n12n+1=1-n+22n+1，
故T_n=2-n+22n，故S_n=n2+2-n+22n=n+42-n+22n

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，an+1=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。