为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造

题文

为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）. 题型：未知 难度：其他题型

答案

至少需要4年才能使绿化面积超过50%

解析

设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a₁=

，经过n年后绿洲面积为a_n+1，设2009年底沙漠面积为b₁，经过n年后沙漠面积为b_n+1，则a₁+b₁=1，a_n+b_n=1.
依题意a_n+1由两部分组成：一部分是原有绿洲a_n减去被侵蚀的部分8%·a_n的剩余面积92%·a_n，另一部分是新绿化的12%·b_n，所以
a_n+1=92%·a_n+12%(1-a_n)=

a_n+

,即a_n+1-

=

(a_n-

),
∴

是以-

为首项，

为公比的等比数列，
则a_n+1=

-



ⁿ,
∵a_n+1＞50%,∴

-



ⁿ＞

,
∴

ⁿ﹤

,n＞log



=

=3.
则当n≥4时，不等式

ⁿ﹤

恒成立.
所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.

考点

据考高分专家说，试题“为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。