数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1).求a1,a2;(2)证明：数列{an}是等比数列；求an及Sn.

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

(a_n-1).
（1）求a₁,a₂;
(2)证明：数列{a_n}是等比数列；
（3）求a_n及S_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=-

，a₂=

（2）证明见解析，（3）a_n=-(-

)ⁿ,S_n=

解析

（1）解 ∵a₁=S₁=

（a₁-1），∴a₁=-

.
又a₁+a₂=S₂=

(a₂-1),∴a₂=

.
(2)证明 ∵S_n=

（a_n-1），
∴S_n+1=

（a_n+1-1），两式相减，
得a_n+1=

a_n+1-

a_n,即a_n+1=-

a_n,
∴数列{a_n}是首项为-

，公比为-

的等比数列.
（3）解 由（2）得a_n=-

·(-

)^n-1=-(-

)ⁿ,S_n=



.

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。