设二次方程anx2-an+1x+1=0有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．试用an表示an+1；求证：{an-}是等比

题文

设二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n=1，2，3，…）有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：{a_n-

}是等比数列；
（3）当a₁=

时，求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)根据根与系数的关系，有关系式


代入已知条件6(α+β)-2αβ=3，得

-

=3．
∴a_n+1=

a_n+

．
(2)由于a_n+1=

a_n+

，改写为_an+1-

=

(a_n-

)．
故{a_n-

}是等比数列．
(3)当a₁=

时，a₁-

=

．
故{a_n-

}是以

为首项，以

为公比的等比数列．
∴a_n=

+(

)ⁿ，n=1，2，3，…，
即数列{a_n}的通项公式是a_n=

+(

)ⁿ，n=1，2，3，…．

解析

这是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，找到递推关系即可求解．

考点

据考高分专家说，试题“设二次方程anx2-an+1x+1=0（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。