已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］，问是否存在正数k,使得{bn}成等差数列？若存

题文

已知{a_n}是各项都为正数的等比数列,数列{b_n}满足b_n=

［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］，问是否存在正数k,使得{b_n}成等差数列？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

k=1时,{b_n}成等差数列.

解析

假设存在正数k,使得{b_n}成等差数列.
设数列{a_n}的公比为q,则a_n=a₁qⁿ-1.
而b_n=

［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］
=

lg(ka₁·a₂·a₃·…·a_n)
=

lg(k·a₁ⁿ·

)
=lga₁+(n-1)lg

+lg

.
∴b_n+1-b_n=(lga₁+nlg

+lg

)-［lga₁+(n-1)lg

+lg

］
=lg

+lg

-lg

.
若{b_n}为等差数列,当且仅当lg

-lg

=0,
即lg

=lg

,

=

,
∴k=1.
因此当k=1时,{b_n}成等差数列.

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项都为正数的等比数列,数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。