已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；设c1=a1且cn=an-an-

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*有a_n+S_n=n.
（1）设b_n=a_n-1,求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c₁=a₁且c_n=a_n-a_n-1 (n≥2)，求{c_n}的通项公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明见解析（2）c_n= (

)ⁿ

解析

（1）证明 由a₁+S₁=1及a₁=S₁得a₁=

.
又由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1得
a_n+1-a_n+a_n+1=1,∴2a_n+1=a_n+1.
∴2(a_n+1-1)=a_n-1,即2b_n+1=b_n.
∴数列{b_n}是以b₁=a₁-1=-

为首项，


为公比的等比数列.                                            6分
（2）解 方法一 由（1）知2a_n+1=a_n+1.
∴2a_n=a_n-1+1 (n≥2),                                               8分
∴2a_n+1-2a_n=a_n-a_n-1,
∴2c_n+1=c_n (n≥2).
又c₁=a₁=

,a₂+a₁+a₂=2,∴a₂=

.
∴c₂=

-

=

,即c₂=

c₁.
∴数列{c_n}是首项为

，公比为

的等比数列.                        12分
∴c_n=

·(

)^n-1=(

)ⁿ.                                       14分
方法二 由（1）b_n=(-

)·(

)^n-1=-(

)ⁿ.
∴a_n=-(

)ⁿ+1.
∴c_n=-(

)

+1-


=

-

=




=

（n≥2）.                                      12分
又c₁=a₁=

也适合上式，∴c_n=

.                             14分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。