已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式.

题文

已知{a_n}为等比数列，a₃=2，a₂+a₄=

，求{a_n}的通项公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

a_n=2×3^3-n或a_n=2×3^n-3.

解析

方法一 设等比数列{a_n}的公比为q，则q≠0，
a₂=

=

，a₄=a₃q=2q，
∴

+2q=

.
解得q₁=

，q₂=3.
①当q=

时，a₁=18，
∴a_n=18×(

)^n-1=

=2×3^3-n.
②当q=3时，a₁=

，
∴a_n=

×3^n-1=2×3^n-3.
∴a_n=2×3^3-n或a_n=2×3^n-3.
方法二 由a₃=2,得a₂a₄=4，
又a₂+a₄=

，
则a₂，a₄为方程x²-

x+4=0的两根，
解得

或

.
①当a₂=

时,q=3,a_n=a₃·q^n-3=2×3^n-3.
②当a₂=6时，q=

,a_n=2×3^3-n
∴a_n=2×3^n-3或a_n=2×3^3-n.

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等比数列，a3=2，a2+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。