在各项为正数的数列中，已知且求证为等比数列试问是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由.

题文

在各项为正数的数列

中，已知

且


（1）求证

为等比数列
（2）试问

是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析  （2）

为这个数列的第6项. 

解析

(1)由于

,且

,所以根据等比数列的定义可知数列

为等比数列.
(2)然后再根据

,得

，进而求出

,写出

的通项公式,令

,
解关于n的方程，若求出n为正整数，则说明是数列

的项，否则不是
（1）∵

   ∴


∴

为等比数列，公比是

   …………4分
（2）∵

  ∴

 ∴

 ∴


数列

的通项公式

   …………8分
由

=

∴


∴

为这个数列的第6项.

考点

据考高分专家说，试题“在各项为正数的数列中，已知且（1）求证为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。