已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。求数列{an}的通项公式；若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f的解析式。

题文

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S₃=

。（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若函数

在

处取得最大值，且最大值为a₃，求函数f（x）的解析式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）a_n=

×3^n-1=3^n-2（II）函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+

) 

解析

（I）利用等比数列的前n项和公式求出等比数列的首项，进一步求出数列的通项公式；（II）由第一问求得a₃，再根据三角函数最值知识求出角


（I）由 q=3,  S₃=

  得

  …………………2分
解得 a₁=

   …………………4分
所以a_n=

×3^n-1=3^n-2 …………………6分
（II）由（I）可知  

   …………………8分
因为函数

的最大值为3，所以A="3." ………………… 9分
因为当

时f(x)取得最大值， 所以sin(2×

+

)=1      
又0<

<π，故

=

      …………………11分
所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+

) 

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比q=3，前3项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。