已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．求；求证：数列是等比数列；求使成立的最小正整数的值．

题文

已知数列

，

是其前

项的和，且满足

，对一切

都有

成立，设

．
（1）求

；
（2）求证：数列

 是等比数列；
（3）求使

成立的最小正整数

的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

;(2)证明见解析；(3)5.

解析

(1)只求

，只要在

中令

民，则有

，而

，故

；(2)要证明数列

 是等比数列，就是要证明

为非零常数，因此首先要找到

与

的关系，这由已知式

中用

代换

可得

，两式相减，得

，这个式子中只要把

用

代换即可得结论

，当然说明

，且要计算出

，才能说明

 是等比数列；(3)只要把和式

求出，它是一个等比数列的和，故其和为

，然后解不等式

，可得

，从而得出最小值

为5.
试题解析：(1)由

及

  当

时
故


(2)由

及


得

，故

，
即

，当

时上式也成立,
,故

是以3为首项，3为公比的等比数列
(3)由（2）得





故

解得

，最小正整数

的值5

项和.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。