题文
设无穷等比数列
的公比为q，且
，
表示不超过实数
的最大整数（如
）,记
，数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
.
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）若对于任意不超过
的正整数n，都有
，证明：
.
（Ⅲ）证明：
（
）的充分必要条件为
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.
解析
（Ⅰ）由已知得，
，
，
，且当
时，
.且
，故
，
，
，且当
时，
，进而求
；（Ⅱ）已知数列
的前
项和
（
），可求得
，由取整函数得
，
，故
，要证明
，只需证明
，故可联想到
，则
；（Ⅲ）先证明充分性，当
时，
，由取整函数的性质得
，故
；必要性的证明，当
时，
，则有
.
试题解析：（Ⅰ）解：由等比数列
的
，
，得
，
，
，且当
时，
.
所以
，
，
，且当
时，
.
即
（Ⅱ）证明：因为
，所以
，
.
因为
，
所以
，
.
由
，得
.
因为
，
所以
，
所以
，即
.
（Ⅲ）证明：（充分性）因为
，
，
所以
，
所以
对一切正整数n都成立.
因为
，
，
所以
.
（必要性）因为对于任意的
，
，
当
时，由
，得
；
当
时，由
，
，得
.
所以对一切正整数n都有
.
由
，
，得对一切正整数n都有
，
所以公比
为正有理数.
假设
，令
，其中
，且
与
的最大公约数为1.
因为
是一个有限整数，
所以必然存在一个整数
，使得
能被
整除，而不能被
整除.
又因为
，且
与
的最大公约数为1.
所以
，这与
（
）矛盾.
所以
.
因此
，
.
考点
据考高分专家说，试题“设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
