题文
已知函数
，
（1）若
是常数，问当
满足什么条件时，函数
有最大值，并求出
取最大值时
的值；
（2）是否存在实数对
同时满足条件：（甲）
取最大值时
的值与
取最小值的
值相同，（乙）
？
（3）把满足条件（甲）的实数对
的集合记作A，设
，求使
的
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，值域为
；（2）证明见解析；（3）存在，且
．
解析
（1）这是一个不等式恒成立问题，把不等式转化为
恒成立，那么这一定是二次不等式，恒成立的条件是
可解得
，从而得到
的解析式，其值域也易求得；（2）要证明数列
在该区间上是递增数列，即证
，也即
，根据
的定义，可把
化为关于
的二次函数，再利用
，可得结论
；（3）这是一道存在性问题，解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论，本题中假设
存在，使不等式成立，为了求出
，一般要把不等式左边的和求出来，这就要求我们要研究清楚第一项是什么？这个和是什么数列的和？由
，从而
，
，不妨设
，则
（
），对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为
，这是数列
的递推公式，可以变为一个等比数列，方法是上式可变为
，即数列
是公比为2的等比数列，其通项公式易求，反过来，可求得
，从而求出不等式左边的和，化简不等式．
试题解析：（1）由
恒成立等价于
恒成立，
从而得：
，化简得
，从而得
，所以
，
3分
其值域为
. 4分
（2）解：
6分
， 8分
从而得
，即
，所以数列
在区间
上是递增数列.
10分
（3）由（2）知
，从而
；
，即
；
12分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，所以数列
是
为首项，公比为
的等比数列，
从而得
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
所以，
.
即
，所以，
恒成立.
15分
当
为奇数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最小值
为.
16分
当
为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，有最大值
为.
17分
所以，对任意
，有
.又
非零整数，
18分
，
的数列通项公式，等比数列的前
项和．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，（1）若是常数，问当满足什么条.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
