数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+++…+等于(　　)A．(3n-1)2B．(9n-1)C．9n-1D．(3n-1)

题文

数列{a_n}中,已知对任意n∈N^*,a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1,则

+

+

+…+

等于( )A．(3ⁿ-1)²B．

(9ⁿ-1)C．9ⁿ-1D．

(3ⁿ-1) 题型：未知 难度：其他题型

答案

B

解析

已知a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1,①
当n≥2时,a₁+a₂+…+a_n-1=3^n-1-1,②
由①-②得a_n=(3ⁿ-1)-(3^n-1-1)=2·3^n-1,
∴{a_n}是首项为2,公比为3的等比数列.


=(2·3^n-1)²=4·3^2n-2=4·9^n-1,
∴{

}是首项为4,公比为9的等比数列,
故

+

+…+

=

=

(9ⁿ-1).

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。