等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二

题文

等比数列{a_n}中,a₁,a₂,a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a₁,a₂,a₃中的任何两个数不在下表的同一列.
 
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
 
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)若数列{b_n}满足:b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,求数列{b_n}的前2n项和S_2n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=2·3^n-1     (2)S_2n=3²ⁿ+nln3-1

解析

解:(1)当a₁=3时,不合题意;
当a₁=2时,当且仅当a₂=6,a₃=18时,符合题意;
当a₁=10时,不合题意.
因此a₁=2,a₂=6,a₃=18,所以公比q=3.
故a_n=2·3^n-1.
(2)因为b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,
=2×3^n-1+(-1)ⁿln(2×3^n-1)
=2×3^n-1+(-1)ⁿ[ln2+(n-1)ln3]
=2×3^n-1+(-1)ⁿ(ln2-ln3)+(-1)ⁿnln3.
所以S_2n=b₁+b₂+…+b_2n=2(1+3+…+3^2n-1)+[-1+1-1+…+(-1)²ⁿ](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)²ⁿ2n]ln3=2×

+nln3=3²ⁿ+nln3-1.

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}中,a1,a2,a3分别.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。