数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N*.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(2)在(1)的结

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n,a₁=t,点(S_n,a_n+1)在直线y=3x+1上,n∈N^*.
(1)当实数t为何值时,数列{a_n}是等比数列?
(2)在(1)的结论下,设b_n=log₄a_n+1,c_n=a_n+b_n,T_n是数列{c_n}的前n项和,求T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) t=1    (2) T_n=

+

解析

解:(1)∵点(S_n,a_n+1)在直线y=3x+1上,
∴a_n+1=3S_n+1,a_n=3S_n-1+1(n>1),
a_n+1-a_n=3(S_n-S_n-1)=3a_n,
∴a_n+1=4a_n,
a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1,
∴当t=1时,a₂=4a₁,数列{a_n}是等比数列.
(2)在(1)的结论下,a_n+1=4a_n,a_n+1=4ⁿ,
b_n=log₄a_n+1=n,
c_n=a_n+b_n=4^n-1+n,
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=(4⁰+1)+(4¹+2)+…+(4^n-1+n)
=(1+4+4²+…+4^n-1)+(1+2+3+…+n)
=

+

.

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。