(2014·随州模拟)已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若不

题文

(2014·随州模拟)已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9·2^n-1,n∈N^*.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n,若不等式S_n>ka_n-2对一切n∈N^*恒成立,求实数k的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=3·2^n-1,n∈N^*     （2）

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q,
因为a_n+1+a_n=9·2^n-1,n∈N^*,所以a₂+a₁=9,a₃+a₂=18,
所以q=

=

=2,
又2a₁+a₁=9,所以a₁=3.所以a_n=3·2^n-1,n∈N^*.
(2)S_n=

=

=3(2ⁿ-1),
所以3(2ⁿ-1)>k·3·2^n-1-2,所以k<2-

.
令f(n)=2-

,f(n)随n的增大而增大,
所以f(n)_min=f(1)=2-

=

,
所以k<

,所以实数k的取值范围为

.

考点

据考高分专家说，试题“(2014·随州模拟)已知等比数列{an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。