等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210

题文

（2011•山东）等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．
 
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n，求数列{b_n}的前2n项和S_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1

解析

（1）当a₁=3时，不符合题意；
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意；
当a₁=10时，不符合题意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比为q=3，
故：a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）∵b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿln（2•3^n﹣1）
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ[ln2+（n﹣1）ln3]
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ（ln2﹣ln3）+（﹣1）ⁿnln3
∴S_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=2（1+3+…+3^2n﹣1）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣1）²ⁿ]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）²ⁿ2n]ln3
=


=3²ⁿ+nln3﹣1
∴数列{b_n}的前2n项和S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1．

考点

据考高分专家说，试题“（2011•山东）等比数列{an}中，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。