设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得＝an·an＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．(1)若数列{an}是“J2型”数

题文

设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N^*，存在k∈N^*，使得

＝a_n·a_n＋2k成立，则称数列{a_n}为“J_k型”数列．
(1)若数列{a_n}是“J₂型”数列，且a₂＝8，a₈＝1，求a_2n；
(2)若数列{a_n}既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列{a_n}是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_2n＝a₂q^n－1＝(

)^n－4.
（2）见解析

解析

解：(1)由题意得a₂，a₄，a₆，a₈，…成等比数列，且公比q＝(

)

＝

，
所以a_2n＝(

)^n－4.
(2)由数列{a_n}是“J₄型”数列，得
a₁，a₅，a₉，a₁₃，a₁₇，a₂₁，…成等比数列，设公比为t.
由数列{a_n}是“J₃型”数列，得
a₁，a₄，a₇，a₁₀，a₁₃，…成等比数列，设公比为α₁；
a₂，a₅，a₈，a₁₁，a₁₄，…成等比数列，设公比为α₂；
a₃，a₆，a₉，a₁₂，a₁₅，…成等比数列，设公比为α₃.
则

＝α₁⁴＝t³，

＝α₂⁴＝t³，

＝α₃⁴＝t³.
所以α₁＝α₂＝α₃，不妨记α＝α₁＝α₂＝α₃，且t＝α

.
于是a_3k－2＝a₁α^k－1＝a₁(

)^(3k－2)－1，
a_3k－1＝a₅α^k－2＝a₁tα^k－2＝a₁αk－

＝a₁(

)^(3k－1)－1，
a_3k＝a₉α^k－3＝a₁t²α^k－3＝a₁αk－

＝a₁(

)^3k－1，
所以a_n＝a₁(

)^n－1，故{a_n}为等比数列．

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的各项均为正数．若对任意的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。