已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证： 数列 ｛＋｝是等比数列，并求数列{an}的通项an(2)若数列{bn}满足bn＝(3n－1)

题文

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝

 (n∈N^*)．
(1)求证： 数列 ｛

＋

 ｝是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n
(2)若数列{b_n}满足b_n＝(3ⁿ－1)

a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n＝

 ;(2) －1＜λ＜2.

解析

(1)将已知a_n＋1＝

取倒数可得:

＋1进而利用待定系数法将此式转化为:

＋

＝3

从而可证数列 ｛

＋

 ｝是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列{a_n}的通项a_n; (2)由(1)及已知可得b_n＝(3ⁿ－1)·

＝n·

 ^n－1,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{

 ^n－1}对应项的积构成的一个数列，此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和T_n；然后研究数列{T_n}的单调性可知：{T_n}为递增数列，最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得λ的取值范围.注意不等式:

对一切n∈N^*恒成立等价于

,同理:不等式:

对一切n∈N^*恒成立等价于

.
试题解析：(1)由题知，

＋1，  .        .1分
∴

＋

＝3

，                    2分
∴数列 ｛

＋

 ｝是以3为公比以

=

为首项的等比数列。
∴

＋

＝

·3^n－1＝

，∴a_n＝

         5分
(2)由(1)知，b_n＝(3ⁿ－1)·

＝n·

 ^n－1，
T_n＝1×1＋2×

 ¹＋3×

 ²＋…＋n·

 ^n－1，            6分


 T_n＝1×

＋2×

 ²＋…＋(n－1)

 ^n－1＋n

 ⁿ，
两式相减得，


 T_n＝1＋

＋

＝2－

，
∴T_n＝4－

                           10分
∵T_n＋1－T_n＝

＞0，
∴{T_n}为递增数列                         .12分
①当n为正奇数时，－λ＜T_n对一切正奇数成立，
∵(T_n)_min＝T₁＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②当n为正偶数时，λ＜T_n对一切正偶数成立，
∵(T_n)_min＝T₂＝2，∴λ＜2.
综合①②知，－1＜λ＜2                       .14分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。