设数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，求证：1S2m+1S2n≥2S2p．

题文

设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，S_n为其前n项和，m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，求证：1S2m+1S2n≥2S2p． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q=1时，1S2m+1S2n=1(ma1)2+1(na1)2=1a12（1m2+1n2）≥1a12×2mn，
∵m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，
∴2p≥2

解析

1S2m

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是各项均为正数的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。