已知等比数列{an}中，a4-a2=a2+a3=24．记数列{an}的前n项和为Sn求数列{an}的通项公式；数列{bn}中，b1=2，b2=3，

题文

已知等比数列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．记数列{a_n}的前n项和为S_n
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：Sn2-2bn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等比数列的首项为a₁，公比为q，因为a₄-a₂=a₂+a₃=24．
所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，则a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a₁=4，
数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，它的通项公式为：4×2 ^n-1=2ⁿ⁺¹．
（II） 求数列{a_n}的前n项和为：Sn=4(1-2n)1-2=4(2n-1)，
数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，
所以数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1，所以b_n=n，
Sn2-2bn=4(2n-1)2-2n=2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．

解析

4(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a4-a2=a2.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。