已知一列非零向量an，n∈N*，满足：a1=，an=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，．，其中k是非零常数．

题文

已知一列非零向量an，n∈N^*，满足：a1=（10，-5），an=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n³2 ）．，其中k是非零常数．
（1）求数列{|an|}是的通项公式；
（2）求向量an-1与an的夹角；（n≥2）；
（3）当k=12时，把a1，a2，…，an，…中所有与a1共线的向量按原来的顺序排成一列，记为b1，b2，…，bn，…，令OBn=b1+b2+…+bn，O为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t_n，s_n），且limn→∞tn=t，limn→∞sn=s，则称点B（t，s）为点列的极限点．） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）|an|=x2n+y2n=k2[(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2]（2分）
=2|k|x2n-1+y2n-1=2|k||an-1|，（n≥2），
∴|an||an-1|=2|k|≠0，|a1|=55．
∴{|an|}是首项为55公比为2|k|的等比数列．
∴an=55（2|k|）^n-1（2分）
（2）an•an-1=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）
=k（x_n-1²+y_n-1²）=k|an-1|2．
∴cos＜an，an-1＞=k|an-1|2|an||an-1|=22k＞0-22k＜0，（2分）
∴当k＞0时，＜an，an-1＞=π4，
当k＜0时，＜an，an-1＞=3π4．（2分）
（3）当k=12时，由（2）知：4＜an，an-1＞=p，
∴每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，
∴与向量a1共线的向量为：{a1，a5，a9，a13，}
={b1，b2，b3，b4}，（2分）
记an的单位向量为ano，则a1=|a1|a10，
则an=|an|ano=|a₁|（2|k|）^n-1ano
bn=a4n-3=|a₁|（2|k|）^4n-4（-1）^n-1a10
=a1（-4|k|⁴）^n-1=（10，-5）（-14）^n-1（2分）
设OBn=(tn，sn)，
则t_n=10[1+(-14)+(-14)2++(-14)n-1]=1-(-14)n1-(-14)，
∴limn-∞tn=8，limn-∞sn=-511-(-14)=-4．
∴点列{B_n}的极限点B的坐标为（8，-4）．（2分）

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“已知一列非零向量an，n∈N*，满足：a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。