已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2，a3+a4+a5=64(1a3+1a4+1a5）求{an}的通项公式；设bn=

题文

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列a₁+a₂=2（1a1+1a2），a₃+a₄+a₅=64(1a3+1a4+1a5）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（a_n+1an）²，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设正等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，由题意得：a1(1+q)=2•1a1•1q(1+q)a1q2(1+q+q2)=64•1a1q4(1+q+q2)⇔a12q=2a12q6=64⇔a1=1q=2∴a_n=2^n-1（6分）
（2）bn=(2n-1+12n-1)2=4n-1+(14)n-1+2
∴b_n的前n项和T_n=1(1-4n)1-4+1(1-14n)1-14+2n=13•4n-43•(14)n+2n+1（12分）

解析

a1(1+q)=2•1a1•1q(1+q)a1q2(1+q+q2)=64•1a1q4(1+q+q2)

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项均为正数的等比数列a1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。