已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1，n∈N*求数列{an}的通项公式；求数列{nan}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1，n∈N^*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵2S_n=3a_n-1①
∴2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）②
①-②得2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1=2a_n，
即a_n=3a_n-1，
 又n=1时，2S₁=3a₁-1=2a₁∴a₁=1
∴{a_n}是以a₁=1为首项，以q=3为公比的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1
（II）T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
两式相减得
-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=1-3n1-3-n•3ⁿ，
∴T_n=(2n-1)3n4+14
∴数列{na_n}的前n项和为(2n-1)3n4+14

解析

1-3n1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且2S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。