已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，且log2an+1=log2an+1，数列{bn-an}是等差数列，首项为1，公差为2，其中n∈N*．求数列

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，且log₂a_n+1=log₂a_n+1，
数列{b_n-a_n}是等差数列，首项为1，公差为2，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分10分）
（1）由题可得：an+1an=2，∴数列{a_n}是以1为首项，
2为公比的等比数列．∴a_n=2^n-1．…（5分）
（2）由题知：b_n-a_n=2n-1，⇒b_n=2^n-1+2n-1，
∴Sn=(1+2+22+…+2n-1)+(1+2n-1)n2=2n+n2-1．…10

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的首项a1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。