设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且对于任意正整数n，点在直线2x+y-2=0上．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且对于任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=na_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥2时，T_n＜4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分12分）
（1）点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即∴S_n=2-2a_n+1    ①
当n≥2时，∴S_n-1=2-2a_n     ②…（3分）
由①-②可得：a_n=2a_n+1∴an+1an=12（n≥2）又a₁=1，a₂=12符合上式
数列{a_n}是以1为首项，12为公比的等比数列
∴an=(12)n-1                  …（6分）
（2）由（1）知b_n=na_n=n(12)n-1
∴T_n=1+2(12)1+3(12)2+4(12)3+…+n(12)n-1     …③
∴12T_n=12+2(12)2+3(12)3+4(12)4+…+n(12)n    …④
由③-④得∴Tn=4-(12)n-2-n(12)n-1=4-n+22n-1＜4…（12分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。