已知等差数列{an}的公差为d，且a2=3，a5=9，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=1-12bn求数列{an}，{bn}的通项公式；（

题文

已知等差数列{a_n}的公差为d，且a₂=3，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-12b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=12a_nb_n 求证：数列{c_n}的前n项和 T_n≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，d=a5-a25-2=2，故a₁=a₂-d=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）…1分
在S_n=1-12b_n中，令n=1，得b₁=23，
当n≥2时，S_n=S_n=1-12b_n，S_n-1=1-12b_n-1，
两式相减得b_n=12b_n-1-12b_n，
∴bnbn-1=13（n≥2）…4分
∴b_n=23•(13)n-1=23n（n∈N^*）…5分
（2）c_n=12a_nb_n=（2n-1）•(13)n…6分
T_n=1×(13)1+3×(13)2+5×(13)3+…+（2n-3）×(13)n-1+（2n-1）×(13)n，
13T_n=1×(13)2+3×(13)3+…+（2n-3）×(13)n+（2n-1）×(13)n+1…7分，
两式相减得：
23T_n=13+2[(13)2+(13)3+…+(13)n]-（2n-1）×(13)n+1
=13+2×19[1-(13)n-1]1-13-（2n-1）×(13)n+1…9分，
∴T_n=1-(13)n×（n+1）…11分
∵n∈N^*，
∴T_n≤1…12分

解析

a5-a25-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差为d，且a2=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：