已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．求数列{an}的通项公式；求证数列{2an}是等比数列；求使得Sn+2

题文

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₂=3，4S₂=S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{2^a_n}是等比数列；
（3）求使得S_n+2＞2S_n的成立的n的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
由题意得：a1+d=34×(2a1+d)=4a1+6d
解得：a₁=1，d=2∴a_n=2n-1
（2）依题2an2an-1=22n-122n-3=4，
数列{2an}是首项为2，公比为4的等比数列
（3）由a₁=1，d=2，a_n=2n-1得S_n=n²
∴Sn+2＞2Sn⇒(n+2)2＞2n2⇒(n-2)2＜8∴n=1，2，3，4故n的集合为：{1，2，3，4}

解析

a1+d=34×(2a1+d)=4a1+6d

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：