数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2，数列{bn}中，b1=1，且点P在直线x-y+2=0上，求数列{an}、{bn

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2（a_n-1），数列{b_n}中，b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设Hn=1b1b2+1b2b3+…+1bn-1bn，求使得Hn＜m30对所有的n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设Tn=b1a1+b2a2+…+bnan，试比较T_n与3的大小关系． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=2（a_n-1），∴S_n+1=2（a_n+1-1）
两式相减得：an+1=2an+1-2an⇒an+1an=2，又∵a₁=2
∴{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a_n=2ⁿ
又P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0⇒b_n+1-b_n=2，
又∵b₁=1，∴}、{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b_n=2n-1
（2）1bn-1bn=1(2n-3)(2n-1)=12(12n-3-12n-1)
∴Hn=1b1b2+1b2b3+…+1bn-1bn=12(1-12n-1)
要使12(1-12n-1)＜m30所有的n∈N^*都成立，必须且仅需满足12≤m30⇒m≥15
所以满足要求的最小正整数为15，
（3）Tn=12+322+523+…+2n-12n12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1
相减得：12Tn=12+(12+122+…+12n-1)-2n-12n+1
化简得Tn=3-12n-2-2n-12n＜3
所以T_n＜3

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：