设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有等式S1a1+2+S2a2+2+…+Snan+2=14Sn成立．求证Sn=14a2n+

题文

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有等式S1a1+2+S2a2+2+…+Snan+2=14Sn成立．
（1）求证Sn= 14a2n+12an（n∈N⁺）；
（2）求数列{S_n}的通项公式；
（3）记数列{1Sn}的前n项和为T_n，求证T_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，
a_n=s_n-s_n-1=4•Snan+2，
∴Sn=14an2+12an，
当n=1时，也符合Sn=14an2+12an，
∴Sn=14an2+12an(n∈N*)
（2）当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=14an2+12an-14an-12-12an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2
于是数列{a_n}是首项为2，
公差为2的等差数列．∴Sn=n×2+n(n-1)2×2=n(n+1)）
（3）由（2）知1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1
∴Tn=1S1+1S2+1S3+…+1Sn
=1-1n+1＜1

解析

Snan+2

考点

据考高分专家说，试题“设各项均为正数的数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：