把正整数排列成如图所示的数阵．求数阵中前10行所有的数的个数及第10行最右边的数；求第n行最左边及最右边的数；2007位于数阵的第几行的第几个

题文

把正整数排列成如图所示的数阵．
（Ⅰ）求数阵中前10行所有的数的个数及第10行最右边的数；
（Ⅱ）求第n行最左边及最右边的数；
（Ⅲ）2007位于数阵的第几行的第几个数（从左往右数）．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：1+2+3+…+10=55．
又正整数列第n个数前（包括第n个数）所有数的个数为n，
所以第10行最右边的数为55．    …（2分）
（Ⅱ）前n行所有个数为：1+2+3+…+n=12n(n+1)，…（4分）
所以，第n行最右边的数为 12n(n+1)．
第n行最左边的数为12n(n+1)-(n-1)=12n2-12n+1．  …（6分）
（Ⅲ）又n=63时，第63行最左边的数为：12×63×62+1=1954，
第63行最右边的数为：12×64×63=2016，…（8分）
所以2007位于第63行．
又因为2007-1954=53，故2007位于第63行的第54位．   …（10分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“把正整数排列成如图所示的数阵．（Ⅰ）求数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：