设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．求证：an2=2Sn-a

题文

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
当n≥2时，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
显然当n=1时，a₁=1适合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（Ⅱ）由（I）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（III）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ
∴b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ
要使b_n-1＞b_n恒成立，只须（-1）^n-1 λ＜(32)^n-1
（1）当n为奇数时，即λ＜(32)n-1恒成立，
又(32)n-1的最小值为1，∴λ＜1
（2）当为偶数时，即λ＞(32)n-1恒成立，
又-(32)n-1的最大值为-32，
∴λ＞-32，∴由（1）（2）得-32＜λ＜1，
又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N⁺，都有b_n+1＞b_n成立．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的各项都是正数，且对任意n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：