已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．求数列{an}的通项公式；令bn=1a2n-1(n∈N*)，记数列{

题文

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=1a2n-1(n∈N*)，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{a_n}的首项为a₁，因为a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列，所以有
         （a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13），
        解得：a₁=3，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：由（I）知：a_n=2n+1，所以
      bn=1an2-1=1(2n+1)2-1=14•1n(n+1)=14(1n-1n+1)，
所以Tn=14(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=14-14(n+1)＜14．

解析

1an2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差为2的等差数列，且.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：