从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．求数列{an}的通项公式；若

题文

从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{a_n}中的a₃、a₄、a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=an+1an+anan+1，数列{b_n}的前项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为aq，a，aq，则aq⋅a⋅aq=a3=8，解得a=2．所以这三个数为2q，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为2q+2，4，2q+1，即a3=2q+2，a4=4，a5=2q+1，
又a₃、a₄、a₅为等差数列，所以a₃+a₅=2a₄，即2q+2+2q+1=2×4=8，即2q²-5q+2=0．解得q=2或q=12．
因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=12不成立，舍去，所以q=2．
所以三个数为，1，2，4．即a₃=3，a₄=4，a₅=5．
所以公差d=1，所以数列{a_n}的通项公式为an=a3+(n-3)=n，n∈N•．
（Ⅱ）因为bn=an+1an+anan+1=n+1n+nn+1=2+1n-1n+1，
所以Tn=(2+1-12)+(2+12-13)+…+(2+1n-1n+1)
=2n+1-12+12-13+…+1n-1n+1=2n+1-1n+1=2n+nn+1．
即数列{b_n}的前项和为Tn=2n+nn+1，n∈N•．

解析

aq

考点

据考高分专家说，试题“从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：