已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．求数列{an}的通项公式；是否存在正整数n，使得Sn≥

题文

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得a1(1-q4)1-q+a1(1-q3)1-q=2a1(1-q2)1-qa3q+a3+qa3=-18，解得q=-2，a₃=12，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃•q^n-3=12×（-2）^n-3=（-32）×（-2）ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-32）×（-2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n=3[1-(-2)n]1-(-2)=1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，
当n为偶数时，2ⁿ≤-2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．

解析

a1(1-q4)1-q+a1(1-q3)1-q=2a1(1-q2)1-qa3q+a3+qa3=-18

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：