已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．求数列{an}的通项公式；设数列{1Sn}的前n

题文

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{1Sn}的前n项和为T_n，求证：16≤Tn＜38． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+n(n-1)2d．…（1分）
依题意，有S5=70a72=a2a22即5a1+10d=70(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d).…（3分）
解得a₁=6，d=4．…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N^*）．…（6分）
（2）证明：由（1）可得S_n=2n²+4n．…（7分）
∴1Sn=12n2+4n=12n(n+2)=14（1n-1n+2）．…（8分）
∴T_n=1S1+1S2+1S3+…+1Sn-1+1Sn
=14[（1-13）+（12-14）+（13-15）+…+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）]…（9分）
=14（1+12-1n+1-1n+2）
=38-14（1n+1+1n+2）．…（10分）
∵T_n-38=-14（1n+1+1n+2）＜0，
∴T_n＜38．…（11分）
∵T_n+1-T_n=14（1n+1-1n+3）＞0，所以数列{T_n}是递增数列．…（12分）
∴T_n≥T₁=16．…（13分）
∴16≤T_n＜38．…（14分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：