等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2≠1，a5=b3，设cn=an•bn，其中n∈N*．求数列{cn}的通项公式；设S

题文

等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₅=b₃，设c_n=a_n•b_n，其中n∈N^*．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为等差数列中a_n=1+（n-1）d；
等比数列中 b_n=q^n-1；
∴a₂=1+d=b₂=q；
a₅=1+4d=q²=（1+d）²；
得出d（d-2）=0；
因为a₂=b₂≠1，，所以d=2，q=3；
a_n =2n-1；b_n=3^n-1
所以 c_n=（2n-1）3^n-1；
（2）S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•3⁰+3•3¹+5•3²+…+（2n-1）3^n-1
3S_n=1•3¹+3•3²+5•3³+…+（2n-1）3ⁿ
3S_n-S_n=-1-2•3¹-2•3²-…-2•3^n-1+（2n-1）3ⁿ
=-1-2×3[3n-1-1]3-1+（2n-1）3ⁿ
=（2n-2）3ⁿ+2
S_n=（n-1）3ⁿ+1．

解析

3[3n-1-1]3-1

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}和等比数列{bn}满足：.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：