已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2、a4的等差中项．求数列{an}的通项公式；求数列{2an+1}前项的和Tn．

题文

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{2a_n+1}前项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₃+2是a₂、a₄的等差中项，得a₂+a₄=2（a₃+2），
因为a₂+a₃+a₄=28，所以a₂+a₄=28-a₃，
所以2（a₃+2）=28-a₃，解得a₃=8，
所以a₂+a₄=20，
所以a1q+a1q3=20a1q2=8，解得a1=2q=2或a1=32q=12，
又{a_n}为递增数列，所以q＞1．
所以a₁=2，q=2，所以a_n=2ⁿ．
（2）因为a_n=2ⁿ．
所以2a_n+1=2⋅2ⁿ+1=2ⁿ⁺¹+1，
所以数列{2a_n+1}前项的和T_n=（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ⁺¹+1）=2²+2²+…+2ⁿ⁺¹+n=4(1-2n)1-2+n=2n+2+n-2．

解析

a1q+a1q3=20a1q2=8

考点

据考高分专家说，试题“已知递增的等比数列{an}满足a2+a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：