已知一个数列{an}的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的

题文

已知一个数列{a_n}的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前n项的和为S_n．参考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）试问第10个1为该数列的第几项？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整数m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，
即（1，2）为第1对，共1+1=2项；（1，2，2，2）为第2对，共1+3=4项；…；
(1，2，2，2，…2)共2k-1个2为第k对，共1+（2k-1）=2k项；
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．
第10个1所在的项之前共有9对，所以10个1为该数列的
9×（9+1）+1=91（项）．…（6分）
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而a₂₀₁₂=2
又前2012项中共有45个1，其余2012-45=1967个数均为2，
于是S₂₀₁₂=45×1+1967×2=3979…（10分）
（III）∵前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，
∴S31×32=S992=2×312+31=1953，
S32×33=S1056=2×322+32=2080，
即S₉₉₃=1954且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．…（14分）

解析

2，2，2，…2)共2k-1个2

考点

据考高分专家说，试题“已知一个数列{an}的各项都是1或2．首.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：