数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1．求证：数列{1Sn}的通项公式；设存在正数k，使（1+S1

题文

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=2S2n2Sn-1（n≥2）．
（1）求证：数列{1Sn}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k2n+1对一切n∈N^×都成立，求k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=2S2n2Sn-1，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴1Sn-1Sn-1=2（n≥2），（5分）
数列{1Sn}是以1S1=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）知1Sn=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=12n-1，∴Sn+1=12n+1（7分）
设F（n）=(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)  2n+1，
则F(n+1)F(n)=(1+Sn+1)2n+12n+3
=2n+2(2n+1)(2n+3)
=4n2+8n+44n2+8n+3＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=233，∴0＜k≤233，k_max=233．（12分）

解析

2S2n2Sn-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：