已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且12，an，Sn成等差数列．求数列{an}的通项公式；若an2=bn，设cn=b

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且12，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=（12）^b_n，设c_n=bnan，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知2an=Sn+12，an＞0，…（1分）
当n=1时，2a₁=a₁+12，解得a₁=12，
当n≥2时，Sn=2an-12，Sn-1=2an-1-12，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（3分）
整理得：anan-1=2…（4分）
∴数列{a_n}是以12为首项，2为公比的等比数列．
∴an=a1•2n-1=12×2n-1=2n-2．…（5分）
（Ⅱ）a2n=2-bn=22n-4
∴b_n=4-2n，…（6分）
∴Cn=bnan=4-2n2n-2=16-8n2nTn=82+022+-823+…24-8n2n-1+16-8n2n…①
12Tn=822+023+…+24-8n2n+16-8n2n+1…②
①-②得12Tn=4-8(122+123+…+12n)-16-8n2n+1…（9分）
=4-8•122(1-12n-1)1-12-16-8n2n+1=4-4(1-12n-1)-16-8n2n+1=4n2n．…（11分）
∴Tn=8n2n．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：